Na física e na matemática, o valor absoluto de um número real (x) é a distância que x está de zero na reta numérica. Como as distâncias não são negativas, o valor absoluto também não é negativo. Por exemplo: |8| = 8 (o valor absoluto de 8 é 8) e |-8| = 8 (o valor absoluto de -8 é 8). Isso representa que 8 e -8 estão a 8 unidades de zero.
Em matemática, existe uma definição de valor absoluto que se expressa:
|x| = {x, si x ≥ 0
{-x, si x < 0
Esta definição é explicada da seguinte forma:
- x, si x 0. O valor absoluto é positivo se o número for positivo (x > 0). Por exemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 é maior que 0). Se o número for 0 (x = 0), o valor absoluto será zero: |0| = 0, porque 0 = 0.
- -x, si x < 0. O valor absoluto é positivo se o número for negativo (x < 0). Por exemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 é menor que 0), o resultado do valor absoluto é -x = -(-8) = 8.
Em relação à notação de valor absoluto, o número é sempre escrito entre barras verticais:
- |8| = 8. Isso significa que o valor absoluto de 8 é igual a 8.
- |-8| = 8. Isso significa que o valor absoluto de -8 é igual a 8.
Além disso, o valor absoluto pode ser aplicado em diferentes cálculos:
- Cálculo em que o comércio está entre as barras. Se todos os números estiverem dentro das barras, primeiro resolve-se a operação e depois atribui-se o valor absoluto ao resultado. Por exemplo:
|-10 -7| = |-17| =17 - Cálculo em que há apenas um número entre as barras. Nesse caso, primeiro é determinado o valor absoluto do número entre as barras e, em seguida, a operação é resolvida. Por exemplo:
|-2| – 5 = 2 – 5 = -3
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Propriedades de valor absoluto
O valor absoluto tem diferentes propriedades, as mais importantes são:
- sem negatividade. O valor absoluto é sempre positivo ou igual a zero (|x| ≥ 0). Por exemplo: |8| = 8 y |-8| = 8.
- definição positiva. O valor absoluto de um número é 0 apenas se esse número for igual a 0 (|x| = 0 ⇔ x = 0). Por exemplo: |0| = 0.
- propriedade multiplicativa. O valor absoluto do resultado de uma multiplicação é igual ao resultado da multiplicação dos valores absolutos dos números que a compõem (|x * y| = |x| * |y|). Por exemplo: |-4 * 5| = |-20| = 20 é igual a |-4| * |5| = 4 * 5 = 20.
- desigualdade triangular. O valor absoluto do resultado de uma soma é menor ou igual ao resultado da soma dos valores absolutos dos números que a compõem (|x + y| ≤ |x| + |y|). Por exemplo: |-7 + 6| = |-1| = 1 y |-7| + |6| = 7 + 6 = 13, então 1 < 13 (1 é menor que 13).
- Simetria. Um número positivo (por exemplo, 15) e o mesmo número, mas negativo (por exemplo -15) têm o mesmo valor absoluto: 15 (|-x| = |x|).
- identidade dos indiscerníveis. O valor absoluto do resultado de uma subtração é igual a zero se seus números forem iguais (|x – y| = 0 ⇔ x = y). Por exemplo: |8 – 8| = |0| = 0 porque 8 = 8.
- Divisão de Preservação. O valor absoluto do resultado de uma divisão é igual ao resultado da divisão dos valores absolutos dos números que a compõem apenas se o divisor não for igual a zero (|x / y| = |x| / |y| se y ≠ 0). Por exemplo: |4 / 2| = |2| = 2 é igual a |4| / |2| = 4 / 2 = 2, porque 2 ≠ 0.
Exemplos de valor absoluto
- |-107| = 107 (o valor absoluto de -107 é 107)
- |2,34353| = 2.34353 (o valor absoluto de 2,34353 é 2,34353)
- |⅛| = ⅛ (o valor absoluto de ⅛ é ⅛)
- |43| = 43 (o valor absoluto de 43 é 43)
- |-¼| = ¼ (o valor absoluto de -¼ é ¼)
- |-5| = 5 (o valor absoluto de -5 é 5)
- |-32.789| = 32.789 (o valor absoluto de -32.789 é 32.789)
- |78| = 78 (o valor absoluto de 78 é 78)
- |-1½| = 1½ (o valor absoluto de -1½ é 1½)
- |-984,32| = 984,32 (o valor absoluto de -984,32 é 984,32)
- |24| = 24 (o valor absoluto de 24 é 24)
- |-476| = 476 (o valor absoluto de -476 é 476)
- |139,2| = 139,2 (o valor absoluto de 139,2 é 139,2)
- |12⅙| = 12⅙ (o valor absoluto de 12⅙ é 12⅙)
- |-32⅔| = 32⅔ (o valor absoluto de -32⅔ é 32⅔)
- |7.333| = 7.333 (o valor absoluto de 7.333 é 7.333)
- |-2,13| = 2,13 (o valor absoluto de -2,13 é 2,13)
- |-19| = 19 (o valor absoluto de -19 é 19)
- |-6,5| = 6,5 (o valor absoluto de -6,5 é 6,5)
- |-⅝| = ⅝ (o valor absoluto de -⅝ é ⅝)
Exemplos de valor absoluto em operações
- |45 + 17| – 12 = |62| – 12 = 62 – 12 = 50
- |119 – 200| = |-81| = 81
- 200 * |-2| = 200 * 2 = 400
- |49 / -7| = |-7| = 7
- 356 + |-100| = 356 + 100 = 456
- |3 – 3| = |0| = 0
- |200| – 50 = 200 – 50 = 150
- |-3| * 80 = 3 * 80 = 240
- |-350| / 10 = 350 / 10 = 35
- |-2 * 15| + 7 = |-30| + 7 = 30 + 7 = 37
- frações
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